《高等数学》是高职高专理工类各专业学生的一门必修的重要基础课。通过本课程的学习，要实现传授知识和发展能力两方面的教学目的，使学生获得一元函数微积分、微分方程的基本知识，培养学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，特别是培养和提高学生综合运用所学知识分析和解决实际问题的意识和能力。通过本课程的学习，为理工类专业后继课程提供基本的数学工具，为学生进一步学好其它课程奠定基础。全书主要内容包含：函数、极限与连续；导数与微分；导数的应用；不定积分；定积分及其应用；微分方程。

为了适应高职高专教育教学的改革与发展, 满足高职高专各专业对数学的基本要
求, 我们在总结了多年教学实践经验的基础上, 结合“高等数学”课程的特点, 编写了这套
《 高等数学》教材。
本套教材编写的主要指导思想是:
(1) 以课程思政为导向。 教材融入了我国数学家的一些事例, 从我国科学技术、 工程
建设成就中取材, 改编成数学案例。 这些案例对于了解国情, 培养民族自豪感、 爱国主义
精神, 可以起到积极的作用。
(2) 内容精简, 遵循“以必需、 够用为度”的原则。 本书对传统高等数学的内容进行了
精心整合, 在适度保持数学自身的系统性与逻辑性的同时, 淡化理论的证明或推导, 代
之以直观的图形、 具体的数据、 现实的背景进行讲解, 使学生易于理解和应用。 同时, 根
据高职高专学生的基础现状, 精心设计了例题和习题, 例题与习题配置比例适当; 例题
与知识点对应, 习题与例题对应; 依循序渐进的原则设置, 淡化计算的复杂度和技巧, 以
便于教学。
(3) 加强教学内容与实际生产与生活的联系、 突出应用。 注重从实际问题引入教学,
揭示数学源于实践、 应用于实践的思路与方法。 教材中选编了大量包含生活、 社会、 工程
技术等领域背景的应用案例, 不仅能加深学生对数学概念、 方法的理解, 也有利于培养
学生的创新思维和创新精神。
(4) 融入数学建模思想, 设立数学实验的内容。 本教材尝试将数学建模思想和方法
融入应用案例中, 以提高学生的建模意识和能力。 为了激发学生的学习兴趣, 提高使用
计算机解决数学问题的意识和能力, 本书还在附录中介绍了利用 MATLAB 软件进行数
学实验的相关内容。
(5) 注意与初等数学的衔接。 编写本教材的过程中, 我们对初等数学, 尤其是高中数
学的教学内容做了研究, 充分考虑到了高职高专学生的数学基础, 较好地处理了高等数
学与初等数学的衔接。
(6) 每章附有思维导图, 便于师生对本章内容的结构与要点进行掌握。
(7) 加强数学与专业的适应性。 本教材配套有教案或课件, 编制了与化工类专业、 机
械类专业、 医药类专业、 电子类专业相对应的内容, 供教师在教学中使用, 可向编者索取
(2193746589 @qq. com 或 从 中 国 铁 道 出 版 社 有 限 公 司 http://www. tdpress. com/
51eds/下载) 。

本套教材分上、 下两册。 上册主要内容包括函数、 极限与连续, 导数与微分, 导数的
应用, 不定积分, 定积分及其应用, 微分方程, 设计的教学时间为60 学时左右; 下册主要
内容包括空间解析几何与向量代数、 多元函数微积分、 级数与拉普拉斯变换、 线性代数、
概率与统计, 可根据专业情况确定选学内容。 本书为上册。
本套教材由刘崇华、 杨巍任主编, 关革强、 李建军、 卢国云任副主编。 其中, 上册教材
第1~3 章由杨巍主要编写, 第4~6 章由刘崇华主要编写; 下册教材第7~10 章由杨巍编
写, 第11~13 章由刘崇华编写; 上册数学实验由刘崇华编写, 下册数学实验由杨巍编写;
李建军参与第1 章编写, 卢国云参与第4 章编写, 关革强参与第6 章编写, 李学明参与
第7 章编写, 朱俊丽参与第11 章编写。
本套教材由韩志刚教授主审。 在编写本套教材过程中, 周秋民、 吴莉莎、 梁雪珍、
陈芝君提出了有益建议, 在此表示感谢!
由于编者水平有限, 教材中疏漏及不妥之处在所难免, 敬请广大读者批评指正。
编 者
2021 年8 月

第 1 章 函数、 极限与连续 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1
§1.1 函数的概念和性质 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1
一、 函数的概念 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1
二、 函数的几种性质 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4
三、 初等函数 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 6
习题1.1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 10
§1.2 极限及其运算 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12
一、 数列的极限 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12
二、 函数的极限 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 14
三、 极限的运算法则 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 16
四、 两个重要的极限 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17
习题1.2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 19
§1.3 无穷小与无穷大 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 19
一、 无穷小定义 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 19
二、 无穷大定义 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 20
三、 无穷大与无穷小的关系 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 20
四、 无穷小的性质 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 20
五、 无穷小的比较 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 21
习题1.3 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 21
§1.4 函数的连续性 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 22
一、 函数的连续性概述 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 22
二、 闭区间上连续函数的性质 … … … … … … … … … … … … … … … … … 24
习题1.4 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 25
§1.5 函数关系建立与数学建模 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26
一、 函数关系的建立 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26
二、 一元线性回归方程的建立 … … … … … … … … … … … … … … … … … 27
三、 数学模型、 数学建模与 CUMCM 简介 … … … … … … … … … … … 28
习题1.5 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 30

第1 章 思维导图… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 32
复习题1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 33
第 2 章 导数与微分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 35
§2.1 导数的概念 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 35
一、 变化率问题举例 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 35
二、 导数的定义和求导数举例 … … … … … … … … … … … … … … … … … 36
三、 导数的实际意义举例 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 39
四、 导数的几何意义 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 39
五、 可导与连续的关系 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 40
习题2.1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 40
§2.2 函数的求导法则 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 41
一、 导数的四则运算法则 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 41
二、 反函数的求导法则 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 42
三、 基本初等函数的求导公式 … … … … … … … … … … … … … … … … … 43
四、 复合函数的求导法则———链式法则 … … … … … … … … … … … … 43
习题2.2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 45
§2.3 隐函数的导数 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 46
一、 隐函数的导数 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 46
二、 对数求导法 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 46
习题2.3 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 47
§2.4 高阶导数 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 48
习题2.4 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 48
§2.5 函数的微分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 49
一、 微分的定义 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 49
二、 微分的几何意义 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50
三、 微分的基本公式与运算法则 … … … … … … … … … … … … … … … … 50
四、 微分在近似计算中的应用 … … … … … … … … … … … … … … … … … 52
习题2.5 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 53
第2 章 思维导图… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 54
复习题2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 55
第 3 章 导数的应用 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 56
§3.1 洛必达法则 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 56
一、
0 0型与∞∞型未定式 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 56

二、 其他类型的未定式 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 58
习题3.1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 59
§3.2 函数的单调性与曲线的凹凸性 … … … … … … … … … … … … … … … … 59
一、 函数的单调性 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 59
二、 曲线的凹凸性和拐点 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 61
习题3.2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 62
§3.3 曲线的弯曲程度———曲率 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 63
一、 曲率的概念 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 63
二、 曲率的计算公式 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 64
三、 曲率圆… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 65
习题3.3 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 66
§3.4 函数的极值与最值 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 66
一、 函数的极值 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 66
二、 函数的最值 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 68
习题3.4 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 70
§3.5 蜂房的极值问题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 71
习题3.5 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 74
第3 章 思维导图… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 75
复习题3 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 76
第 4 章 不定积分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 78
§4.1 不定积分的概念与性质 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 78
一、 原函数与不定积分的概念 … … … … … … … … … … … … … … … … … 78
二、 基本积分公式 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 80
三、 不定积分的性质 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 80
四、 直接积分法 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 81
习题4.1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 82
§4.2 换元积分法 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 82
一、 第一类换元法(凑微分法) … … … … … … … … … … … … … … … … … 83
二、 第二类换元法 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 86
习题4.2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 88
§4.3 分部积分法 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 89
习题4.3 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 92
§4.4 简易积分表的使用 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 92
一、 在积分表直接查到 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 92

二、 先进行变量代换, 再查表 … … … … … … … … … … … … … … … … … 93
三、 用递推公式 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 93
习题4.4 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 94
第4 章 思维导图… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 95
复习题4 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 96
第 5 章 定积分及其应用 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 98
§5.1 定积分的概念与性质 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 98
一、 引例 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 98
二、 定积分的定义 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 100
三、 定积分的几何意义… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 101
四、 定积分的性质 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 102
习题5.1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 104
§5.2 定积分的计算 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 104
一、 微积分基本公式(牛顿_x005f_x0010__x0010_莱布尼茨公式) … … … … … … … … … … 104
二、 定积分的换元积分法和分部积分法 … … … … … … … … … … … … 106
习题5.2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 108
§5.3 无限区间上的广义积分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 109
习题5.3 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 110
§5.4 定积分的应用 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 110
一、 定积分的微元法 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 110
二、 定积分在几何上的应用 … … … … … … … … … … … … … … … … … 112
三、 定积分在物理上的应用 … … … … … … … … … … … … … … … … … 115
习题5.4 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 118
第5 章 思维导图 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 120
复习题5 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 121
第 6 章 微分方程 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 122
§6.1 微分方程的基本概念 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 122
习题6.1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 123
§6.2 一阶微分方程 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 124
一、 可分离变量的微分方程 … … … … … … … … … … … … … … … … … 124
二、 一阶线性微分方程… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 125
习题6.2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 126
§6.3 二阶微分方程 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 127
目 录 Ⅴ
一、 可降阶的二阶微分方程 … … … … … … … … … … … … … … … … … 127
二、 二阶线性微分方程… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 128
习题6.3 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 130
§6.4 微分方程应用举例 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 131
习题6.4 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 133
第6 章 思维导图 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 134
复习题6 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 135
附录 A 常用初等数学公式 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 136
附录 B 简易积分表 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 138
附录 C 数学实验 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 147
附录 D 习题参考答案 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 153
参考文献 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 164

刘崇华，1983.09-1987.06在广西师范大学数学系数学专业学习；1987.07-至今在广西工业职业技术学院任数学专任教师；公开出版教材5部（其中主编2部），发表科研教改论文8篇（其中中文核心1篇），主持省部级赛事8次，以主要完成人参与科研教改项目（课题）4项，获自治区级教学成果三等奖1个，指导学生参加全国大学生数学建模竞赛获全国二等奖3个、广西二等奖3个、广西三等奖9个。杨巍，2004.09-2007.07在黑龙江大学应用数学专业学习；2013.06-至今在广西工业职业技术学院任数学专任教师；主编教材1部，发表科研教改论文7篇，主持省部级赛事8项，以主要完成人参与科研教改项目（课题）3项，指导学生参加全国大学生数学建模竞赛获全国二等奖1个、广西一等奖1个、广西三等奖3个。

本书通俗易懂, 从生活实际、 工程技术中选编了大量题目, 并配备有教案和课件, 便于教学。