本书是根据高等数学教学大纲的原则和要求、基于编者多年教学改革实践所积累的丰富教学经验编写而成.本书共分十章，系统地介绍了函数与极限、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用、微分方程、向量代数与空间解析几何、多元函数的微分法及其应用和二重积分，书中附有常用的数学公式及运算性质、常用曲线、积分公式表和习题答案.
本书适用于应用型普通高等学校经济管理类、农业类、生化类、医学类以及理工类（少学时）等专业,也可作为成人本科教育、高等职业教育和自学者的教材.

根据本科高等数学教学大纲的原则和要求，为了降低学习难度，同时保证教学质量和确保高等数学理论的完整性和系统性，编者对本书进行了特殊的系统优化.
本书基于编者多年教学改革成果和教学经验编写而成，具有如下特点：
1. 与中学教学充分衔接，力求学生的数学知识平滑过渡.
2. 对极限的传统理论作了大幅度的调整，以使学生能直观理解极限的概念和理论.
3. 强化了数学知识在实际生活和专业学习中的应用.
4. 以几何直观、经济学背景、典型例题等作为引入基本概念的切入点，对重要概念、重要定理、难点从多侧面进行剖析和注解，做到难点分散，以便于学生理解与掌握.
书中带“*”号的部分为选学内容，可供学校和学生根据实际情况取舍.
本书适合作为应用型普通高等学校经济管理类、农业类、生化类、医学类以及少学时的理工类等专业的教材，也可作为成人本科教育和高等职业教育的教材.
本书由佛山科学技术学院瞿晓鸿任主编.特别感谢杨灵娥、朱静平、韩晓茹、邓奋发、刘晓莉、宋春玲、杨勇等同事对本书提出了宝贵的意见和修改建议.
由于编者水平有限和时间仓促，书中不妥之处在所难免，望广大读者不吝赐教.

目录


第1章函数与极限1

11映射与函数1

1.1.1映射（1）
1.1.2函数（2）

1.1.3函数模型（12）习题11(15)

12数列的极限17

1.2.1数列的概念（18）
1.2.2数列极限的定义（19）

1.2.3收敛数列的性质（19）习题12(20)

13函数的极限20

1.3.1函数极限的定义（20）
1.3.2函数极限的性质（23）

习题13(23)

14无穷小与无穷大24

1.4.1无穷小（24）
1.4.2无穷大（25）

习题14(26)

15极限运算法则27

习题15(31)

16极限存在准则两个重要极限32

1.6.1夹逼法则（32）
1.6.2单调有界准则（34）

1.6.3两个重要极限（34）
*1.6.4连续复利（36）

习题16(37)

17无穷小38

1.7.1无穷小的比较（38）
1.7.2等价无穷小的性质（39）

习题17(41)

18函数的连续性与间断点41

1.8.1函数的连续性（42）
1.8.2函数的间断点（44）

习题18(46)

19连续函数的运算与初等函数的连续性48

1.9.1连续函数和、差、积、商的连续性（48）

1.9.2反函数与复合函数的连续性（48）

1.9.3初等函数的连续性（49）习题19(50)

110闭区间上连续函数的性质51

习题110(53)

第2章导数与微分55

21导数概念55

2.1.1引例（55）
2.1.2函数的导数（57）

2.1.3左、右导数（60）

2.1.4函数的可导性与连续性的关系（62）



目录|


ⅱ|高等数学教程（少学时）

习题21(63)

22函数的求导法则65

2.2.1函数和、差、积、商的求导法则（65）

2.2.2反函数的求导法则（67）
2.2.3复合函数的求导法则（67）

2.2.4基本初等函数的求导公式与求导法则（70）

习题22(71)

23高阶导数73

2.3.1高阶导数的概念（73）
2.3.2高阶导数的运算法则（74）

2.3.3高阶导数的求法（74）习题23(77)

24隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率77

2.4.1隐函数的导数（77）
2.4.2对数求导法（79）

2.4.3由参数方程所确定的函数的导数（80）

2.4.4相关变化率（82）习题24(83)

25函数的微分及其应用84

2.5.1微分的定义（84）
2.5.2函数可微的条件（85）

2.5.3微分的几何意义（86）

2.5.4基本初等函数的微分公式与微分法则（87）

2.5.5微分在近似计算中的应用（90）习题25(91)

第3章中值定理与导数的应用93

31微分中值定理93

3.1.1罗尔(Rollo)定理（93）
3.1.2拉格朗日中值定理（95）

3.1.3拉格朗日中值公式的其他形式（97）

3.1.4柯西中值定理（98）习题31(99)



目录|ⅲ


ⅱ|高等数学教程（少学时）




32洛必达法则101

3.2.100型未定式（101）
3.2.2∞∞型未定式（104）

3.2.3其他类型（0·∞、∞－∞、1∞、00、∞0）的未定式（105）

习题32(106)

33函数的单调性与极值107

3.3.1函数单调性的判定法（107）
3.3.2极值的判别法（110）

习题33(114)

34函数的最大值、最小值及其应用115

习题34(118)

35曲线的凹凸性与拐点120

习题35(125)

36函数图形的描绘126

3.6.1渐近线（126）
3.6.2描绘函数图形（128）

习题36(131)

*37边际分析131

3.7.1边际成本（132）
3.7.2边际收益（133）

3.7.3边际利润（134）
3.7.4边际需求（134）

3.7.5边际分析实例（134）习题37(136)

第4章不定积分137

41不定积分的概念与性质137

4.1.1原函数与不定积分的概念（137）
4.1.2基本积分表（139）

4.1.3不定积分的性质（140）习题41(143)

42换元积分法144

4.2.1第一类换元法（145）
4.2.2第二类换元法（150）

习题42(155)

43分部积分法158

习题43(161)

44有理函数的积分162

4.4.1有理函数及真分式的分解（162）4.4.2真分式的积分（164）

4.4.3可化为有理函数的积分（166）习题44(167)

45积分表的使用168

习题45(169)

第5章定积分170

5.1定积分概念与性质170

5.1.1引例（170）
5.1.2定积分的概念（173）

5.1.3定积分的性质（174）习题51(178)

5.2微积分基本公式179

5.2.1引例（179）5.2.2积分上限函数及其导数（180）

5.2.3牛顿-莱布尼茨公式（181）习题52(183)

5.3定积分的换元法和分部积分法185

5.3.1换元积分法（185）
5.3.2分部积分法（188）

习题53(189)

5.4反常积分190

5.4.1无穷限的反常积分（190）
5.4.2无界函数的反常积分（193）

习题54（196）

第6章定积分的应用197

6.1定积分的元素法197

习题61(198)

6.2定积分在几何学上的应用199

6.2.1平面图形的面积（199）
6.2.2体积（202）

习题62(205)

*6.3定积分在经济管理与社会科学中的应用207

6.3.1由边际函数求原经济函数（207）
6.3.2由变化率求总量（208）

6.3.3消费者剩余与生产者剩余（208）

6.3.4洛伦兹(Lorents)曲线与基尼系数(G)（210）

习题63(211)

第7章微分方程213




目录|ⅴ


ⅳ|高等数学教程（少学时）

7.1微分方程的基本概念213

7.1.1微分方程（213）
7.1.2微分方程的解（214）

习题71(217)

7.2可分离变量的微分方程218

习题72(221)

7.3一阶线性微分方程222

习题73(224)

7.4可降阶的高阶微分方程224

7.4.1y(n)=f(x)型的微分方程（225）

7.4.2y″=f(x，y′)型的微分方程（225）

7.4.3y″=f(y，y′)型的微分方程（226）习题74(227)

7.5二阶线性微分方程解的结构227

习题75(231)

7.6常系数齐次线性微分方程231

习题76(235)

7.7常系数非齐次线性微分方程235

7.7.1f(x)=Pm(x)eλx型的微分方程（235）

7.7.2f(x)=eλx［Pl(x)cos ωx+Qn(x)sin ωx］型的微分方程（238）

习题77(240)

第8章向量代数与空间解析几何241

8.1向量及其线性运算241

8.1.1向量的概念（241）
8.1.2向量的线性运算（242）

习题81(243)

8.2空间解析几何简介244

8.2.1空间直角坐标系（244）
8.2.2空间点的坐标（244）

8.2.3空间两点间的距离（245）
8.2.4曲面及其方程（247）

8.2.5空间曲线及其方程（255）习题82(256)

第9章多元函数的微分法及其应用259

9.1多元函数的基本概念259

9.1.1平面区域的概念（259）
9.1.2多元函数的定义（261）

9.1.3二元函数的极限（263）9.1.4多元函数的连续性（264）

习题91(265)

9.2偏导数266

9.2.1偏导数的概念（266）

9.2.2偏导数与连续的关系（269）

9.2.3偏导数的几何意义及经济意义（269）

9.2.4高阶偏导数（270）

*9.2.5偏导数在经济分析中的应用——边际分析（271）

习题92(272)

9.3全微分273

9.3.1全微分的定义（273）

*9.3.2全微分在近似计算中的应用（276）

习题93(276)

9.4多元复合函数求导法则277

9.4.1复合函数的中间变量为一元函数的情形（277）

9.4.2复合函数的中间变量为多元函数的情形（278）

9.4.3复合函数的中间变量既有一元函数又有二元函数的情形（279）

9.4.4全微分形式不变性（281）习题94(282)

9.5隐函数微分法283

9.5.1方程F(x，y)=0确定的隐函数（283）

9.5.2方程F(x，y，z)=0确定的隐函数（284）

习题95(285)

9.6多元函数的极值问题及其求法286

9.6.1二元函数的极值（286）

9.6.2二元函数的最值问题（289）

9.6.3条件极值与拉格朗日乘数法（291）

习题96(294)

*9.7最小二乘法295

9.7.1线性相关问题（295）
9.7.2非线性相关问题（297）

习题97(299)

第10章二重积分301




10.1二重积分的概念与性质301

10.1.1二重积分的概念（301）

10.1.2直角坐标系下二重积分的性质（303）

习题101(305)

10.2直角坐标系下二重积分的计算法305

10.2.1在直角坐标系下计算二重积分（306）

10.2.2交换二次积分次序（311）

10.2.3利用对称性和奇偶性化简二重积分计算（313）

习题102(314)

10.3极坐标系下二重积分的计算法315

习题103(320)

附录322

附录A常用的数学公式及运算性质322

附录B常用积分表326

附录C常用曲线336

附录D习题答案338



ⅵ|高等数学教程（少学时）目录


第1章函数与极限1

11映射与函数1

1.1.1映射（1）
1.1.2函数（2）

1.1.3函数模型（12）习题11(15)

12数列的极限17

1.2.1数列的概念（18）
1.2.2数列极限的定义（19）

1.2.3收敛数列的性质（19）习题12(20)

13函数的极限20

1.3.1函数极限的定义（20）
1.3.2函数极限的性质（23）

习题13(23)

14无穷小与无穷大24

1.4.1无穷小（24）
1.4.2无穷大（25）

习题14(26)

15极限运算法则27

习题15(31)

16极限存在准则两个重要极限32

1.6.1夹逼法则（32）
1.6.2单调有界准则（34）

1.6.3两个重要极限（34）
*1.6.4连续复利（36）

习题16(37)

17无穷小38

1.7.1无穷小的比较（38）
1.7.2等价无穷小的性质（39）

习题17(41)

18函数的连续性与间断点41

1.8.1函数的连续性（42）
1.8.2函数的间断点（44）

习题18(46)

19连续函数的运算与初等函数的连续性48

1.9.1连续函数和、差、积、商的连续性（48）

1.9.2反函数与复合函数的连续性（48）

1.9.3初等函数的连续性（49）习题19(50)

110闭区间上连续函数的性质51

习题110(53)

第2章导数与微分55

21导数概念55

2.1.1引例（55）
2.1.2函数的导数（57）

2.1.3左、右导数（60）

2.1.4函数的可导性与连续性的关系（62）



目录|


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习题21(63)

22函数的求导法则65

2.2.1函数和、差、积、商的求导法则（65）

2.2.2反函数的求导法则（67）
2.2.3复合函数的求导法则（67）

2.2.4基本初等函数的求导公式与求导法则（70）

习题22(71)

23高阶导数73

2.3.1高阶导数的概念（73）
2.3.2高阶导数的运算法则（74）

2.3.3高阶导数的求法（74）习题23(77)

24隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率77

2.4.1隐函数的导数（77）
2.4.2对数求导法（79）

2.4.3由参数方程所确定的函数的导数（80）

2.4.4相关变化率（82）习题24(83)

25函数的微分及其应用84

2.5.1微分的定义（84）
2.5.2函数可微的条件（85）

2.5.3微分的几何意义（86）

2.5.4基本初等函数的微分公式与微分法则（87）

2.5.5微分在近似计算中的应用（90）习题25(91)

第3章中值定理与导数的应用93

31微分中值定理93

3.1.1罗尔(Rollo)定理（93）
3.1.2拉格朗日中值定理（95）

3.1.3拉格朗日中值公式的其他形式（97）

3.1.4柯西中值定理（98）习题31(99)



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32洛必达法则101

3.2.100型未定式（101）
3.2.2∞∞型未定式（104）

3.2.3其他类型（0·∞、∞－∞、1∞、00、∞0）的未定式（105）

习题32(106)

33函数的单调性与极值107

3.3.1函数单调性的判定法（107）
3.3.2极值的判别法（110）

习题33(114)

34函数的最大值、最小值及其应用115

习题34(118)

35曲线的凹凸性与拐点120

习题35(125)

36函数图形的描绘126

3.6.1渐近线（126）
3.6.2描绘函数图形（128）

习题36(131)

*37边际分析131

3.7.1边际成本（132）
3.7.2边际收益（133）

3.7.3边际利润（134）
3.7.4边际需求（134）

3.7.5边际分析实例（134）习题37(136)

第4章不定积分137

41不定积分的概念与性质137

4.1.1原函数与不定积分的概念（137）
4.1.2基本积分表（139）

4.1.3不定积分的性质（140）习题41(143)

42换元积分法144

4.2.1第一类换元法（145）
4.2.2第二类换元法（150）

习题42(155)

43分部积分法158

习题43(161)

44有理函数的积分162

4.4.1有理函数及真分式的分解（162）4.4.2真分式的积分（164）

4.4.3可化为有理函数的积分（166）习题44(167)

45积分表的使用168

习题45(169)

第5章定积分170

5.1定积分概念与性质170

5.1.1引例（170）
5.1.2定积分的概念（173）

5.1.3定积分的性质（174）习题51(178)

5.2微积分基本公式179

5.2.1引例（179）5.2.2积分上限函数及其导数（180）

5.2.3牛顿-莱布尼茨公式（181）习题52(183)

5.3定积分的换元法和分部积分法185

5.3.1换元积分法（185）
5.3.2分部积分法（188）

习题53(189)

5.4反常积分190

5.4.1无穷限的反常积分（190）
5.4.2无界函数的反常积分（193）

习题54（196）

第6章定积分的应用197

6.1定积分的元素法197

习题61(198)

6.2定积分在几何学上的应用199

6.2.1平面图形的面积（199）
6.2.2体积（202）

习题62(205)

*6.3定积分在经济管理与社会科学中的应用207

6.3.1由边际函数求原经济函数（207）
6.3.2由变化率求总量（208）

6.3.3消费者剩余与生产者剩余（208）

6.3.4洛伦兹(Lorents)曲线与基尼系数(G)（210）

习题63(211)

第7章微分方程213




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ⅳ|高等数学教程（少学时）

7.1微分方程的基本概念213

7.1.1微分方程（213）
7.1.2微分方程的解（214）

习题71(217)

7.2可分离变量的微分方程218

习题72(221)

7.3一阶线性微分方程222

习题73(224)

7.4可降阶的高阶微分方程224

7.4.1y(n)=f(x)型的微分方程（225）

7.4.2y″=f(x，y′)型的微分方程（225）

7.4.3y″=f(y，y′)型的微分方程（226）习题74(227)

7.5二阶线性微分方程解的结构227

习题75(231)

7.6常系数齐次线性微分方程231

习题76(235)

7.7常系数非齐次线性微分方程235

7.7.1f(x)=Pm(x)eλx型的微分方程（235）

7.7.2f(x)=eλx［Pl(x)cos ωx+Qn(x)sin ωx］型的微分方程（238）

习题77(240)

第8章向量代数与空间解析几何241

8.1向量及其线性运算241

8.1.1向量的概念（241）
8.1.2向量的线性运算（242）

习题81(243)

8.2空间解析几何简介244

8.2.1空间直角坐标系（244）
8.2.2空间点的坐标（244）

8.2.3空间两点间的距离（245）
8.2.4曲面及其方程（247）

8.2.5空间曲线及其方程（255）习题82(256)

第9章多元函数的微分法及其应用259

9.1多元函数的基本概念259

9.1.1平面区域的概念（259）
9.1.2多元函数的定义（261）

9.1.3二元函数的极限（263）9.1.4多元函数的连续性（264）

习题91(265)

9.2偏导数266

9.2.1偏导数的概念（266）

9.2.2偏导数与连续的关系（269）

9.2.3偏导数的几何意义及经济意义（269）

9.2.4高阶偏导数（270）

*9.2.5偏导数在经济分析中的应用——边际分析（271）

习题92(272)

9.3全微分273

9.3.1全微分的定义（273）

*9.3.2全微分在近似计算中的应用（276）

习题93(276)

9.4多元复合函数求导法则277

9.4.1复合函数的中间变量为一元函数的情形（277）

9.4.2复合函数的中间变量为多元函数的情形（278）

9.4.3复合函数的中间变量既有一元函数又有二元函数的情形（279）

9.4.4全微分形式不变性（281）习题94(282)

9.5隐函数微分法283

9.5.1方程F(x，y)=0确定的隐函数（283）

9.5.2方程F(x，y，z)=0确定的隐函数（284）

习题95(285)

9.6多元函数的极值问题及其求法286

9.6.1二元函数的极值（286）

9.6.2二元函数的最值问题（289）

9.6.3条件极值与拉格朗日乘数法（291）

习题96(294)

*9.7最小二乘法295

9.7.1线性相关问题（295）
9.7.2非线性相关问题（297）

习题97(299)

第10章二重积分301




10.1二重积分的概念与性质301

10.1.1二重积分的概念（301）

10.1.2直角坐标系下二重积分的性质（303）

习题101(305)

10.2直角坐标系下二重积分的计算法305

10.2.1在直角坐标系下计算二重积分（306）

10.2.2交换二次积分次序（311）

10.2.3利用对称性和奇偶性化简二重积分计算（313）

习题102(314)

10.3极坐标系下二重积分的计算法315

习题103(320)

附录322

附录A常用的数学公式及运算性质322

附录B常用积分表326

附录C常用曲线336

附录D习题答案338



ⅵ|高等数学教程（少学时）

瞿晓鸿，本科就读于云南大学数学系，数学专业；研究生就读于重庆大学应用数学系，数学专业。一直在高校从事教学与研究工作，先后在昆明理工大学、佛山科学技术学院工作。为高校学生授课的课程主要有：数学分析，高等数学，线性代数，概率论与数理统计，场论等课程，研究方向是图论及其应用，有多篇论文发表。